Kesebangunan Dan Perbandingan Luas Dua Segitiga

Kesebangunan Dan Perbandingan Luas Dua Segitiga. Kita coba belajar geometri sedikit tentang segitiga yang sebangun dan perbandingan luas dua segitiga. Belajar tentang segitiga sejak zaman SD sampai perguruan tinggi yang paling ingat itu adalah luas segitiga yaitu $\frac{1}{2} \times alas \times tinggi$ atau keliling segitiga yaitu $sisi+sisi+sisi$.

Sedikit nostalgia dengan matematika SD, "Merasa senang 😊 jika guru kasih soal segitiga dengan panjang alas dan tingginya adalah bilangan-bilangan genap 😂".

Kesebangunan Segitiga

Dua segitiga disebut sebangun, apabila memiliki 3 sudut yang sama besar. Tetapi karena jumlah sudut pada segitiga selalu sama yaitu $180^{\circ}$ maka apabila terdapat dua pasang sudut sama besar maka bisa dipastikan bahwa kedua segitiga sebangun.

Karena $\angle A=\angle P$ dan $\angle B=\angle Q$ maka $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup PQR$ dan dapat dituliskan $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup PQR$.

Akibat dari kesebangunan maka diperoleh perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar. Jika kita gunakan segitiga diatas sebagai pedoman, maka kita peroleh;
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$

Kebalikan Dari Kesebangunan
Jika perbandingan sisi-sisi dua buah segitiga ABC dan segitiga PQR sama besar maka $\bigtriangleup ABC$ sebangun dengan $\bigtriangleup PQR$.

Sebagai contoh kita ambil dari soal Ujian Nasinal Matematika SMP tahun 2015.

Diketahui $\bigtriangleup DEF $ dan $\bigtriangleup PQR $ sebangun, panjang $DE=9\ cm$, $EF=12\ cm$, dan $DF=6\ cm$, $PQ=15\ cm$, $PR=10\ cm$ dan $QR=20\ cm$. Perbandingan sisi-sisi pada kedua segitiga tersebut adalah...

Untuk mempermudah soal diatas, kita coba menggambarkannya terlebih dahulu,

karena $\bigtriangleup DEF \sim \bigtriangleup PQR $ maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar. Dengan bantuan gambar diatas kita peroleh persamaan sebagai berikut;
$\frac{PR}{DF}=\frac{PQ}{DE}=\frac{QR}{EF}$
$\frac{10}{6}=\frac{15}{9}=\frac{20}{12}$
$\frac{10}{6}=\frac{15}{9}=\frac{20}{12}$
Sehingga perbandingan sisi-sisi pada kedua segitiga tersebut adalah $3:5$ atau $5:3$

Contoh berikutnya masih dari soal Ujian Nasional Matematika SMP tahun 2015.
Sebuah gedung yang tingginya 64 meter, mempunyai panjang bayangan 24 meter. Pada saat yang sama panjang bayangan sebatang pohon 6 meter. Tinggi pohon tersebut adalah...

Dengan menggunakan ilustrasi diatas sebagai bantuan, dapat kita tarik kesimpulan bahwa pohon dan bayangannya sebangun dengan bangunan dan bayangannya sehingga;
$\frac{Tinggi\ Bangunan}{Tinggi\ Pohon}=\frac{Bayangan\ Bangunan}{Bayangan\ Pohon}$
$\frac{64}{Tinggi\ Pohon}=\frac{24}{6}$
$Tinggi\ Pohon=64 \times \frac{6}{24}$
$Tinggi\ Pohon=64 \times \frac{1}{4}$
$Tinggi\ Pohon=16$

Perbandingan Luas Dua Segitiga

Perbandingan Luas Dua Segitiga ini adalah pengembangan dari kesebangunan segitiga diatas. Sederhana dan tidak sulit untuk dipahami, mari kita coba pelajari satu persatu 😊

Perbandingan luas dua segitiga untuk dua segitiga yang sebangun.

Jika dua segitiga sebangun, maka perbandingan luas segitiga sama dengan perbandingan kuadrat sisi-sisi yang bersesuaian

Dengan kata lain untuk $\bigtriangleup ABC$ yang sebangun dengan $\bigtriangleup PQR$, berlaku:
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR}=\frac{\left ( AB \right )^{2}}{\left ( PQ \right )^{2}}$
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR}=\frac{\left ( AC \right )^{2}}{\left ( PR \right )^{2}}$
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR}=\frac{\left ( BC \right )^{2}}{\left ( QR \right )^{2}}$
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR}=\frac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}$

Contoh soal; Diketahui sebuah segitiga ABC siku-siku di B, dengan panjang BC adalah 9 cm. Jika pada AB dibuat garis tinggi DE dimana E terletak pada AC dan panjang DE adalah 5 cm, maka perbandingan luas $\bigtriangleup ABC$ dan $\bigtriangleup ADE$ adalah...

dari keadaan gambar diatas kita peroleh bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$, sehingga berlaku;
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup ADE}=\frac{\left ( DE \right )^{2}}{\left ( BC \right )^{2}}$
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup ADE}=\frac{\left ( 5 \right )^{2}}{\left ( 9 \right )^{2}}$
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup ADE}=\frac{25}{81}$
$\frac{\left [ ABC \right ]}{\left [ ADE \right ]}=\frac{25}{81}$
Sebagai tambahan, dalam penulisan luas bidang ABC dapat kita tulis hanya $ \left [ ABC \right ] $.

Perbandingan luas dua segitiga untuk panjang alas segitiga sama.

Jika dua segitiga memiliki panjang alas yang sama, maka perbandingan luas segitiga sama dengan perbandingan tinggi segitiga.

Dengan kata lain untuk $\bigtriangleup ABC$ alas $AB$ dan $\bigtriangleup PQR$ alas $PQ$ dimana $AB=PQ$ , berlaku:
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR}=\frac{t_{1}}{t_{2}}$
$\frac{\left [ ABC \right ]}{\left [ PQR \right ]}=\frac{t_{1}}{t_{2}}$

Contoh soal, perhatikan gambar berikut!

Perbandingan Luas $\bigtriangleup ABD$ dan Luas $\bigtriangleup ABC$ adalah...
$\frac{\left [ ABD \right ]}{\left [ ABC \right ]}=\frac{t_{1}}{t_{2}}$
Pada gambar tinggi masing segitiga juga tidak diketahui, sehingga kita coba pergunakan segitiga yang lain sebagai bantuan yaitu $ \bigtriangleup ADF$ sebangun dengan $ \bigtriangleup ACE $ sehingga berlaku;
$\frac{DF}{CE}=\frac{AD}{AC}$
$\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{3}{7}$
Kesimpulan,
$\frac{\left [ ABD \right ]}{\left [ ABC \right ]}=\frac{t_{1}}{t_{2}}$
$\frac{\left [ ABD \right ]}{\left [ ABC \right ]}=\frac{3}{7}$

Perbandingan luas dua segitiga untuk tinggi segitiga sama.

Jika dua segitiga memiliki tinggi yang sama, maka perbandingan luas segitiga sama dengan perbandingan alas segitiga.

Untuk segitiga pada gambar diatas $\bigtriangleup ABC$ alas $AB$ dan $\bigtriangleup PQR$ alas $PQ$ dimana tingginya sama yaitu $t$ , berlaku:
$\frac{Luas \bigtriangleup ABC}{Luas \bigtriangleup PQR}=\frac{AB}{PQ}$
$\frac{\left [ ABC \right ]}{\left [ PQR \right ]}=\frac{AB}{PQ}$

Contoh, jika pada sebuah segitiga ABC diketahui titik D pada AB sehingga AD=7 dan BD=8, maka perbandingan luas $\bigtriangleup ADC$ dan luas $\bigtriangleup BDC$ adalah...

$\frac{\left [ ADC \right ]}{\left [ BDC \right ]}=\frac{7}{8}$

Perluasan perbandingan dua luas segitiga sering dipakai dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade matematika topik geometri dan jika ada yang ingin kita diskusikan silahkan disampaikan 😊

Masih menganggap matematika itu sesuatu yang rumit, coba lihat matematika yang dikemas dengan kreatif sehingga perkalian menjadi sangat mudah;

Via : http://www.foldersoal.com

Share this post